代數 Algebra
設 a, b, c 為正實數，且 a + b + c = 3。證明：
a²/(a+b) + b²/(b+c) + c²/(c+a) ≥ 3/2
提示與解法
利用 Cauchy-Schwarz 不等式（Engel form / 柯西不等式的分式形式）：
Σ a²/(a+b) ≥ (a+b+c)² / [2(a+b+c)] = (a+b+c)/2 = 3/2
等號成立於 a = b = c = 1。
求所有函數 f: ℝ → ℝ，滿足對所有實數 x, y：
f(x + y) = f(x) + f(y) + xy
提示與解法
令 g(x) = f(x) − x²/2，代入原式可得 g(x+y) = g(x) + g(y)，即柯西函數方程。
若不額外限制連續性或單調性，解可能不唯一；若限制 f 連續，則 g(x) = cx，故 f(x) = x²/2 + cx。
幾何 Geometry
銳角三角形 ABC 的外心為 O，垂心為 H。證明 ∠BAO = ∠CAH。
提示與解法
關鍵觀察：∠BAO = 90° − C（外心性質），而 ∠CAH = 90° − C（垂心與高的關係），兩者相等。
可進一步延伸：AO 與 AH 關於 ∠A 的角平分線對稱，此為「等角共軛」的特例。
圓 ω 內切於 △ABC 的邊 BC, CA, AB，切點分別為 D, E, F。證明 AD, BE, CF 三線共點（Gergonne 點）。
提示與解法
利用切線長相等性質，設 BD=BF=x、CD=CE=y、AE=AF=z，再套用 Ceva 定理：
(BD/DC) × (CE/EA) × (AF/FB) = (x/y) × (y/z) × (z/x) = 1
由 Ceva 定理逆定理可知三線共點。
組合 Combinatorics
從 1 到 200 中任取 101 個不同的整數，證明其中必有兩數，一個整除另一個。
提示與解法
將每個數寫成 2^k × m（m 為奇數）的形式，m 的可能值共有 100 種（即 1, 3, 5, ..., 199）。
取 101 個數，依鴿籠原理，必有兩數的奇數部分 m 相同，則其中一個必為另一個的 2 的冪次倍數，即整除關係成立。
數論 Number Theory
證明：對任意正整數 n，n⁵ − n 必為 30 的倍數。
提示與解法
分解 n⁵ − n = n(n−1)(n+1)(n²+1)。
連續整數中必含 2, 3 的倍數，故 6 | n(n−1)(n+1)；再用費馬小定理驗證 5 | n⁵−n；合併得 30 | n⁵−n。